「HDU5306」Gorgeous Sequence - 线段树区间取最值

题目大意

    维护一个数组$a$，支持以下操作：

• 给出$l,r,x$，对$i\in[l,r]$，将$a_i$变为$\min(a_i,x)$。
• 给出$l,r$，对$i\in[l,r]$，询问$a_i$的最大值。
• 给出$l,r$，询问$\sum_{i=l}^r a_i$。

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题目分析

论文题（%%%jry）。

线段树维护最大值$max$，次大值$sec$，最大值个数$maxt$。
若使区间$[L,R]$对$x$取$\min$，先定位这个区间，对定位到的区间暴力递归：

• 当$max\le x$，直接退出。
• 当$sec\lt x\lt max$时，维护区间和，更新$max$，打标记，退出。
• 当$sec\ge x$，递归左右儿子。

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时间复杂度证明

原论文给出了一种正确的证明，这里用另一种方式证明。

我们只讨论含有递归的修改操作，若不递归，说明满足$sec\lt v\lt max$或$v\ge max$，这对时间复杂度没有影响。

若递归，此时必有一个$max$被修改到$le$原有$sec$，至少把一个数变成和另一个数一样，即可用值域至少减少了$1$，值域只可能减少$n$次，而在线段树上定位的时间复杂度是$O(\log n)$，故修改操作的时间复杂度是$O(n\log n)$，故总时间复杂度是$O(n\log n+q\log n)$。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}
const int maxn=1000005;

struct Tree {
	int left,right;
	LL sum,max,sec,maxt;
	Tree() {}
	Tree(int l,int r,LL s,LL m,LL se,LL mt):left(l),right(r),sum(s),max(m),sec(se),maxt(mt) {}
};

struct Segment_Tree {
	Tree tree[maxn*4];
#define ls index<<1
#define rs index<<1|1
	void build(int index,int Left,int Right,LL* a) {
		tree[index].left=Left;
		tree[index].right=Right;
		if(Left==Right) {
			tree[index]=Tree(Left,Right,a[Left],a[Left],0,1);
			return;
		}
		int mid=(Left+Right)>>1;
		build(ls,Left,mid,a);
		build(rs,mid+1,Right,a);
		push_up(index);
	}
	void push_up(int index) {
		tree[index]=Tree(tree[index].left,tree[index].right,tree[ls].sum+tree[rs].sum,0,0,0);
		if(tree[ls].max==tree[rs].max) {
			tree[index].max=tree[ls].max;
			tree[index].maxt=tree[ls].maxt+tree[rs].maxt;
			tree[index].sec=max(tree[ls].sec,tree[rs].sec);
		}
		if(tree[ls].max>tree[rs].max) {
			tree[index].max=tree[ls].max;
			tree[index].maxt=tree[ls].maxt;
			tree[index].sec=max(tree[ls].sec,tree[rs].max);
		}
		if(tree[ls].max<tree[rs].max) {
			tree[index].max=tree[rs].max;
			tree[index].maxt=tree[rs].maxt;
			tree[index].sec=max(tree[rs].sec,tree[ls].max);
		}
	}
	void push_down(int index) {
		if(tree[ls].max>tree[index].max) {
			tree[ls].sum-=tree[ls].maxt*(tree[ls].max-tree[index].max);
			tree[ls].max=tree[index].max;
		}
		if(tree[rs].max>tree[index].max) {
			tree[rs].sum-=tree[rs].maxt*(tree[rs].max-tree[index].max);
			tree[rs].max=tree[index].max;
		}
	}
	void modify(int index,int Left,int Right,LL v) {
		if(tree[index].left>Right||tree[index].right<Left)return;
		if(v>=tree[index].max)return;
		if(Left<=tree[index].left&&tree[index].right<=Right&&tree[index].sec<v) {
			tree[index].sum-=tree[index].maxt*(tree[index].max-v);
			tree[index].max=v;
			return;
		}
		push_down(index);
		modify(ls,Left,Right,v);
		modify(rs,Left,Right,v);
		push_up(index);
	} 
	LL query_max(int index,int Left,int Right) {
		if(tree[index].left>Right||tree[index].right<Left)return 0;
		if(Left<=tree[index].left&&tree[index].right<=Right)return tree[index].max;
		push_down(index);
		return max(query_max(ls,Left,Right),query_max(rs,Left,Right));
	}
	LL query_sum(int index,int Left,int Right) {
		if(tree[index].left>Right||tree[index].right<Left)return 0;
		if(Left<=tree[index].left&&tree[index].right<=Right)return tree[index].sum;
		push_down(index);
		return query_sum(ls,Left,Right)+query_sum(rs,Left,Right);
	}
} st;

int n,m;
LL a[maxn];

int main() {
	int t=Get_Int();
	while(t--) {
		n=Get_Int();
		m=Get_Int();
		for(int i=1; i<=n; i++)a[i]=Get_Int();
		memset(st.tree,0,sizeof(st.tree));
		st.build(1,1,n,a);
		for(int i=1; i<=m; i++) {
			int opt=Get_Int(),x=Get_Int(),y=Get_Int();
			if(opt==0)st.modify(1,x,y,Get_Int());
			else if(opt==1)printf("%lld\n",st.query_max(1,x,y));
			else printf("%lld\n",st.query_sum(1,x,y));
		}
	}
	return 0;
}