题目大意
给一个$n\times m$的矩阵，有一些格子不能访问，求可能的生成树个数。
题目分析
生成树计数，矩阵树定理裸题。
定义图的基尔霍夫矩阵为：
矩阵树定理：去掉矩阵任意行与对应的列，剩下的矩阵行列式即为生成树个数。
如何求一个矩阵的行列式？
利用高斯消元将矩阵消为上三角矩阵，主对角线值相乘即为行列式的值。
一般的高斯消元中间过程需要使用到double。
在模意义下的高斯消元可以使用类似辗转相除的方法。
若使用$i$行去消$j$行，对应的值做辗转相除的过程，在辗转相除的过程中消去部分元素。
这样最终一定能消去$i$行或$j$行。
注意：交换任意两行，行列式变为原来的$-1$倍，而给一行同时乘上一个数加到另一行不改变行列式。
代码
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| #include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const LL mod=1e9;
const int dirx[]= {1,-1,0,0},diry[]= {0,0,1,-1};
int n,m,map[15][15],id[15][15],bj=1,cnt=0;
LL a[105][105],ans=1;
void Simplify(int x) {
for(int i=x+1; i<n; i++) {
LL A=a[x][x],B=a[i][x];
while(B) {
LL t=A/B;
A%=B;
swap(A,B);
for(int j=x; j<n; j++)a[x][j]=(a[x][j]-a[i][j]*t%mod+mod)%mod;
for(int j=x; j<n; j++)swap(a[x][j],a[i][j]);
bj*=-1;
}
}
ans=ans*a[x][x]%mod;
}
int main() {
n=Get_Int();
m=Get_Int();
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++) {
char x=' ';
while(x!='.'&&x!='*')x=getchar();
map[i][j]=x=='.'?1:0;
if(map[i][j])id[i][j]=++cnt;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
if(map[i][j]) {
if(i+1<=n&&map[i+1][j]) {
a[id[i][j]][id[i+1][j]]=a[id[i+1][j]][id[i][j]]=-1;
a[id[i][j]][id[i][j]]++;
a[id[i+1][j]][id[i+1][j]]++;
}
if(j+1<=m&&map[i][j+1]) {
a[id[i][j]][id[i][j+1]]=a[id[i][j+1]][id[i][j]]=-1;
a[id[i][j]][id[i][j]]++;
a[id[i][j+1]][id[i][j+1]]++;
}
}
n=cnt;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
a[i][j]=(mod+a[i][j])%mod;
for(int i=1; i<n; i++)Simplify(i);
ans=(ans*bj+mod)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
|
