题目大意
小T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为$N$。在疯涨的$K$天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过$M$，$M$为正整数。并且这些参数满足$M(K-1)\lt N$。
小T忘记了这$K$天每天的具体股价了，他现在想知道这$K$天的股价有多少种可能。
题目分析
对原数组差分去掉递增的影响：
设股价为$a[i]$，$\delta[i]=a[i]-a[i-1]$。
若已经确定了一个$\delta[]$，那么对应的$a[]$有$n-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\delta[i]$种（确定首项即可确定$a[]$）。
对于所有可能的$\delta[]$，共有$m^{k-1}$种（因为数据范围有保证，所以底数是$m$）。
因此共有$\sum\limits_{\text{所有}\delta[]}(n-\sum\limits_{i=1}^{k-1}\delta[i])$种合法方案。
也就是$nm^{k-1}-\sum\limits_{\text{所有}\delta[]}\sum\limits_{i=1}^{k-1}\delta[i]$。
考虑求出后半部分，我们发现值域中的每个数$x$对答案的贡献相同，考虑对每个数单独计算贡献。
共有$m^{k-1}$种$\delta[]$，每种方案有$k-1$个数，在所有方案中每个数出现次数相同，故每个数出现了$\frac{(k-1)m^{k-1}}m$次，所有数的和为$\frac{m(m+1)}2$。
故答案为：
代码
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
| #include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
LL num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
LL n,k,m,p;
LL Quick_Pow(LL a,LL b) {
LL ans=1;
for(; b; b>>=1,a=a*a%p)if(b&1)ans=ans*a%p;
return ans;
}
int main() {
n=Get_Int();
k=Get_Int();
m=Get_Int();
p=Get_Int();
printf("%lld\n",((n%p*Quick_Pow(m,k-1)%p-(k-1)*Quick_Pow(m,k-2)%p*(m*(m+1)/2%p)%p)%p+p)%p);
return 0;
}
|
