题目大意
战线可以看作一个长度为$n$的序列，现在需要在这个序列上建塔来防守敌兵，在序列第$i$号位置上建一座塔有$C_i$的花费，且一个位置可以建任意多的塔，费用累加计算。有$m$个区间$[L_1,R_1],[L_2,R_2],\ldots,[L_m,R_m]$，在第$i$个区间的范围内要建至少$D_i$座塔。求最少花费。
题目分析
先做bzoj3550
本题是上题的升级版，我们需要用到对偶原理。
什么是对偶原理？请见学习笔记。
本题的线性规划写成矩阵形式就是：
设$D$是原题中$D_i$构成的列向量，$C$是原题中$C_i$构成的行向量，$A$是系数矩阵。
最小化目标函数：$z=Cx$
满足约束：$Ax\ge D,x\ge0$
定义向量的$x\le y$表示对每一维都有$x_i\le y_i$。
我们需要将其转化为标准式：
最大化目标函数：$z=-Cx$
满足约束：$-Ax\le -D,x\ge0$
似乎可做了，但是注意到我们不能再将$x=0$作为初始解，因为不满足约束$-Ax\le -D$，此时可以用初始化$init$寻找初始解，但很麻烦，因此直接上对偶原理。
将原线性规划转化为：
最大化目标函数：$z=Dx’$
满足约束：$A^Tx’\le C,x’\ge0$
这样就可以做了。
图解：
代码
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| #include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const int maxn=1005,maxm=10005;
const double eps=1e-6;
int dcmp(double x) {
if(fabs(x)<=eps)return 0;
return x>eps?1:-1;
}
int n,m;
struct Simplex {
int n,m;
double a[maxn][maxm];
void init(int m,int n) {
this->n=m;
this->m=n;
}
void pivot(int in,int out) {
for(int i=0; i<=m; i++)
if(i!=in)a[out][i]/=-a[out][in];
a[out][in]=1/a[out][in];
for(int i=0; i<=n; i++) {
if(i==out||dcmp(a[i][in])==0)continue;
double t=a[i][in];
a[i][in]=0;
for(int j=0; j<=m; j++)a[i][j]+=t*a[out][j];
}
}
double Solve() {
while(true) {
int in=0,out=0;
double Min=1e18;
for(int i=1; i<=m; i++)
if(dcmp(a[0][i])>0) {
in=i;
break;
}
if(!in)return a[0][0];
for(int i=1; i<=n; i++)
if(dcmp(a[i][in])<0&&a[i][0]/-a[i][in]<Min) {
Min=a[i][0]/-a[i][in];
out=i;
}
if(!out)throw ;
pivot(in,out);
}
}
} fst;
int main() {
n=Get_Int();
m=Get_Int();
fst.init(n,m);
for(int i=1; i<=n; i++)fst.a[i][0]=Get_Int();
for(int j=1; j<=m; j++) {
int l=Get_Int(),r=Get_Int();
for(int i=l; i<=r; i++)fst.a[i][j]=-1;
fst.a[0][j]=Get_Int();
}
printf("%d\n",int(fst.Solve()));
return 0;
}
|
