「bzoj3329」Xorequ - 数位动规

题目大意

    给定正整数$n$，现有如下方程：$x\,xor\,3x=2x$，其中$xor$表示按位异或，给定正整数$n$，任务如下：
    1.求出小于等于$n$的正整数中，有多少个数是该方程的解；
    2.求出小于等于$2^n$的正整数中，有多少数是该方程的解，模$10^9+7$

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题目分析

移项得$x\,xor\,2x=3x$，因为$x+2x=3x$，通过异或分析可以发现当且仅当这个数没有相邻的$1$时方程成立。
故可以数位动规统计第一问答案。

对于第二问，设$g(i,0/1)$表示第$i$位填$0/1$的合法方案数。
$g(i,0)=g(i-1,0)+g(i-1,1),g(i,1)=g(i-1,0)$
$\therefore g(i,0)=g(i-1,0)+g(i-2,0)$
斐波拉契数列，通过矩阵快速幂求出解。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
 
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}

typedef long long LL;

const int maxn=5;
const LL mod=1e9+7;

struct Matrix {
	LL n,m,a[maxn][maxn];
	Matrix(LL n,LL m) {
		this->n=n;
		this->m=m;
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1; i<=n; i++)a[i][i]=1; //单位矩阵
	}
	LL* operator [] (const LL x) {
		return a[x];
	}
	Matrix operator * (Matrix b) {
		Matrix c(n,b.m);
		memset(c.a,0,sizeof(c.a));
		for(int i=1; i<=n; i++)
			for(int j=1; j<=b.m; j++)
				for(int k=1; k<=m; k++)
					c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
		return c;
	}
	void operator *= (Matrix& b) {
		*this=*this*b;
	}
	Matrix operator ^ (LL b) {
		Matrix ans(n,m),a=*this;
		while(b>0) {
			if(b&1)ans=ans*a;
			a*=a;
			b>>=1;
		}
		return ans;
	}
};

int a[65];
LL n,f[65][2];

LL Dp(int Now,bool last,bool up) {
	if(Now<0)return 1;
	if(!up&&~f[Now][last])return f[Now][last];
	int Limit=up?a[Now]:1;
	LL sum=0;
	for(int i=0; i<=Limit; i++)
		if(!(last&i))sum+=Dp(Now-1,i,up&&i==Limit);
	if(!up)f[Now][last]=sum;
	return sum;
}

LL Cal(LL x) {
	int cnt=0;
	while(x) {
		a[cnt++]=x&1;
		x>>=1;
	}
	return Dp(cnt-1,0,1);
}

int main() {
	memset(f,-1,sizeof(f));
	int t=Get_Int();
	while(t--) {
		n=Get_Int();
		printf("%lld\n",Cal(n)-1);
		Matrix A(1,2),B(2,2);
		A[1][1]=A[1][2]=1;
		B[1][1]=B[1][2]=B[2][1]=1;
		B[2][2]=0;
		A=A*(B^n);
		printf("%lld\n",A[1][1]);
	}
	return 0;
}