题目大意
定义$f_d(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^d[\gcd(i,n)=1]$
题目分析
这是一个很经典的问题，这里有一份写的很好的题解。
首先考虑对原式进行莫比乌斯反演。
令$h(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^d$，我们称$h$为自然数幂和。
自然数幂和有很多种解法，并且其可以表示为多项式形式。
注意自然数幂和无常数项。
本题可以用是$O(d^3)$的高斯消元，$O(d^2)$的拉格朗日插值法，$O(d\log d)$的伯努利数，$O(1)$的打表求出$a_i$，这样就可以将自然数幂和用多项式表示出来。
在时空间允许的范围内，一般还是选择打表和高斯消元，其余两个太复杂了。
因此，我们可以得到$a_i$的系数，原式变为：
令：
原式变为：
令$r(k)=\mu(k)k^d$，则：
这是两个积性函数的狄利克雷卷积，因此$g_i(n)$是积性函数。
但因为$g_i(n)$不是完全积性函数，故对$n$作质因数分解。
因此我们只需要考虑求出$g_i(p_j^{q_j})$即可。
对$\mu(p^j)p^{jd}(\frac{p^q}{p^j})^i$讨论：
- 当$j=0$时，$\mu(p^j)=\mu(1)=1$，该式为$p^{qi}$
- 当$j=1$时，$\mu(p^j)=\mu(p)=-1$，该式为$-p^{qi+d-i}$
- 否则，$\mu(p^j)=0$，该式为$0$
因此，$g_i(p^q)=p^{qi}-p^{qi+d-i}$，可以$O(w\log q_i)$求出。
总复杂度为$O(d^3+dw\log q_i)$或$O(dw\log q_i)$。
代码
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| #include<algorithm>
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#include<cstdlib>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
LL num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const int maxd=105,maxw=1005;
const LL mod=1e9+7;
LL d,w,a[maxd][maxd],ans[maxd],p[maxw],up[maxw];
LL Quick_Pow(LL a,LL b) {
LL sum=1;
for(; b; b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)sum=sum*a%mod;
return sum;
}
LL inv(LL x) {
return Quick_Pow(x,mod-2);
}
void Simplify(int n,int x) {
if(!a[x][x]) {
for(int i=x+1; i<=n; i++)
if(a[i][x]) {
for(int j=1; j<=n+1; j++)swap(a[i][j],a[x][j]);
break;
}
}
LL tmp=inv(a[x][x]);
for(int i=x+1; i<=n; i++) {
if(!a[i][x])continue;
LL mul=a[i][x]*tmp%mod;
for(int j=x; j<=n+1; j++)a[i][j]=(a[i][j]-a[x][j]*mul%mod+mod)%mod;
}
}
void Gauss(int n) {
for(int i=1; i<=n; i++)Simplify(n,i);
for(int i=n; i>=1; i--) {
for(int j=i+1; j<=n; j++)a[i][n+1]=(a[i][n+1]-a[i][j]*ans[j]%mod+mod)%mod;
ans[i]=a[i][n+1]*inv(a[i][i])%mod;
}
}
int main() {
d=Get_Int();
w=Get_Int();
for(int i=1; i<=w; i++) {
p[i]=Get_Int();
up[i]=Get_Int();
}
LL sum=0;
for(int i=1; i<=d+1; i++) {
a[i][1]=i;
for(int j=2; j<=d+1; j++)a[i][j]=a[i][j-1]*i%mod;
a[i][d+2]=(a[i-1][d+2]+Quick_Pow(i,d))%mod;
}
Gauss(d+1);
LL Ans=0;
for(int i=1; i<=d+1; i++) {
LL sum=1;
for(int j=1; j<=w; j++) {
LL tmp=(Quick_Pow(p[j],up[j]*i)-Quick_Pow(p[j],up[j]*i+d-i)+mod)%mod;
sum=sum*tmp%mod;
}
Ans=(Ans+ans[i]*sum%mod)%mod;
}
printf("%lld\n",Ans);
return 0;
}
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