「雅礼day1/CodeForces 438D」求余mod - 线段树

题目大意

给定一个长度为$n$的非负整数序列$a[]$，你需要支持以下操作：
1：给定 $l$,$r$，输出 $a[l]+a[l+1]+\cdots +a[r]$。
2：给定 $l$,$r$,$x$，将 $a[l],a[l+1],\ldots ,a[r]$对$x$取模。
3：给定 $k$,$y$，将 $a[k]$修改为 $y$。

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题目分析

众所周知的结论：一个数有效的取模最多有$\log x$次。

证明：
考虑对于一个数$x$有效地取模$y$，$x\bmod y$的值必然比$y$小，如果$y$小于$\frac x2$，那$x$就变得小于$\frac x2$，如果$y$大于$\frac x2$，$x$剩下的部分也比$\frac x2$少，$x$也会变得比$\frac x2$小。
也就是说，一个数每次取模都会比$\frac x2$小，因此结论成立。

那么只需要对于取模操作暴力取模即可，若区间最大值比模数小就退出。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}
const int maxn=100005;
struct Tree {
	int left,right;
	LL max,sum;
	Tree(int l=0,int r=0,LL m=0,LL s=0):left(l),right(r),max(m),sum(s) {}
};
struct Segment_Tree {
	Tree tree[maxn*4];
	#define ls index<<1
	#define rs index<<1|1
	void build(int index,int Left,int Right,const LL* a) {
		tree[index]=Tree(Left,Right);
		if(Left==Right) {
			tree[index].sum=tree[index].max=a[Left];
			return;
		}
		int mid=(Left+Right)>>1;
		build(ls,Left,mid,a);
		build(rs,mid+1,Right,a);
		push_up(index);
	}
	void push_up(int index) {
		tree[index].max=max(tree[ls].max,tree[rs].max);
		tree[index].sum=tree[ls].sum+tree[rs].sum;
	}
	void modify(int index,int target,LL val) {
		if(tree[index].left>target||tree[index].right<target)return;
		if(tree[index].left==tree[index].right) {
			tree[index].max=tree[index].sum=val;
			return;
		}
		modify(ls,target,val);
		modify(rs,target,val);
		push_up(index);
	}
	void mod(int index,int Left,int Right,LL val) {
		if(tree[index].left>Right||tree[index].right<Left)return;
		if(tree[index].left==tree[index].right) {
			tree[index].max%=val;
			tree[index].sum%=val;
			return;
		}
		if(tree[index].max<val)return;
		mod(ls,Left,Right,val);
		mod(rs,Left,Right,val);
		push_up(index);
	}
	LL query(int index,int Left,int Right) {
		if(tree[index].left>Right||tree[index].right<Left)return 0;
		if(Left<=tree[index].left&&Right>=tree[index].right)return tree[index].sum;
		return query(ls,Left,Right)+query(rs,Left,Right);
	}
} st;
int n,m;
LL a[maxn];
int main() {
	n=Get_Int();
	m=Get_Int();
	for(int i=1; i<=n; i++)a[i]=Get_Int();
	st.build(1,1,n,a);
	for(int i=1; i<=m; i++) {
		int opt=Get_Int();
		if(opt==1) {
			int l=Get_Int(),r=Get_Int();
			printf("%lld\n",st.query(1,l,r));
		} else if(opt==2) {
			int l=Get_Int(),r=Get_Int();
			LL v=Get_Int();
			st.mod(1,l,r,v);
		} else if(opt==3) {
			int x=Get_Int();
			LL v=Get_Int();
			st.modify(1,x,v);
		}
	}
	return 0;
}